METODOLOGI PENELITIAN

(SIFAT BILANGAN RIIL)

1.      Teorema

Teorema 1.2.10

Untuk setiap bilangan riil  ada bilangan asli n sehingga . (Hutahaean, 1980; 8)

2.      Uraian Teorema

·         LATAR BELAKANG      :

Himpunan bilangan riil adalah himpunan semua bilangan rasional dan irrasional yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. (Purcell, 2003; 2)

Permasalahan selanjutnya adalah, apakah setiap kita mengambil bilangan riil , akan ada bilangan asli yang lebih besar dari  itu sendiri? Nah pada pembahasan teorema ini, akan dibahas mengenai salah satu sifat bilangan riil yang berhubungan dengan permasalahan tadi.

·         HIPOTESIS                   :

Ada bilangan riil x.

·         KESIMPULAN              :

Ada bilangan asli n yang lebih besar dari x.

·         SIMBOL                       :

3.      Konsep Terkait

himpunan Bilangan Riil 

Himpunan semua bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol dinamakan bilangan asli. (Purcell, 2003; 2)

·         Himpunan bilangan asli

Bilangan asli merupakan sistem bilangan yang paling sederhana.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Dengan bilangan ini kita dapat menghitung jumlah buku-buku kita, teman-teman kita, dan uang kita. (Purcell, 2003; 1)

·         Sifat kelengkapan pada bilangan Riil

Definisi :

1.      Misalkan E Í Â. E disebut terbatas di atas ( bounded above ) jika terdapat v ÎÂ sehingga x £ v untuk semua x Î E, dan v disebut batas atas ( upper bound ) untuk E.

2.      E disebut terbatas dibawah ( bounded below ) jika terdapat u ÎÂ sehingga u £ x untuk semua x Î E, dan u disebut batas bawah ( lower bound ) untuk E.

3.      E disebut terbatas  (bounded ) jika terbatas diatas dan terbatas dibawah.

·         Teorema 1.2.9, dikatakan bahwa, “Sistem bilangan asli N tak terbatas di atas.”

Bukti    :

Andaikan N terbatas di atas, jadi ada p, sehingga p = sup N.

Menurut teorema 1.2.3,  ada n E N sehingga n > p-1.  Untuk n ini berlaku n+1 > p. 

Karena  n+1 E N, maka n+1 > p bertentangan dengan definisi p. Jadi terbuktilah N tak terbatas di atas. (Hutahaean, 1980; 8)

·         Teorema 1.2.3, dikatakan bahwa, “p = sup A, jika dan hanya jika :

1.      p batas atas A ;

2.      untuk setiap   > 0  ada  x  A sehingga  p –   <  x    p.

Bukti    :

            ( è )

1.      Jelas berdasarkan definisi supremum

2.      Andaikan 2 tak benar, jadi ada  > 0 sehingga untuk setiap  x E A berlaku  p –  ≥ p. hal ini mustahil karena   > 0.  Jadi pengandaian itu salah, sehingga terbuktilah 2.

( ç ) misalkan 1 dan 2 dipenuhi dan andaikan p  sup A = c, maka p > c.

Ambillah  = (p-c)/2 , maka  p -   = (p+c)/2  > c.

Untuk  ini ada  x E A  sehingga  c < p –  < x  dan ini tak mungkin karena  c = sup A . Jadi  haruslah  p = sup A.  (Hutahaean, 1980; 6)

 

4.      Bukti Teorema

Andaikan tidak demikian, maka ada bilangan riil x, sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku n ≤ x.  Ini berarti sistem bilangan asli N terbatas di atas dan ini bertentangan dengan teorema 1.2.9.  Dengan demikian pengandaian itu salah dan ini berarti Teorema 1.2.10 benar

 

5.      Konstruksi Bukti Teorema

1.      Ambil bilangan riil x sebarang.

2.      Misalkan pernyataan ini “untuk setiap bilangan riil x ada bilangan asli n sehingga n > x .” tidak benar. Sehingga diperoleh n ≤ x.  Dengan n  N dan  x   Â.

3.      Maka  x  merupakan batas atas  n. Yang berarti bahwa  N  terbatas di atas oleh  x.

4.      Pada teorema sebelumnya yakni teorema 1.2.9, dikatakan bahwa “Sistem bilangan asli N tak terbatas di atas.”

5.      Dan ternyata hasil dari pemisalan kita bertentangan dengan teorema 1.2.9.

6.      Akibat penggunaan teorema 1.2.9 ini, maka diperoleh kesimpulan bahwa pemisalan kita di awal pembuktian tadi salah. sehingga pernyataan n > x ini bernilai benar

Private Makassar_Karen Prima College

Sebuah kenyataan bahwa pendidikan adalah satu kebutuhan pokok yang setiap anak bahkan setiap orang harus terpenuhi. Bisa dibayangkan apa yang akan terjadi tanpa adanya pendidikan .

Pada keluarga yang sadar pendidikan, mereka terkadang menginginkan lebih dari apa yang didapatkan putra/i mereka di bangku sekolahan. Mereka ingin agar putra/i mereka tetap dapat bimbingan dalam belajar. Namun keterbatasan waktu sehingga terkadang mereka kewalahan dalam memberi bimbingan belajar terhadap anak di rumah.    

Berangkat dari sinilah, maka terbentuklah Karen Prima College (KPC). KPC adalah sebuah lembaga bimbingan belajar berbasis rumahan untuk konsumen daerah Makassar dan sekitarnya. KPC mengkhususkan layanannya untuk bimbingan anak setingkat TK, SD, SMP, SMA, Bimbingan Mengaji dan Bahasa Arab. KPC dibentuk oleh sekelompok mahasiswa Makassar yang ingin memanfaatkan waktu luang untuk hal-hal yang bersifat produktif dan edukatif. Mereka adalah mahasiswa yang sadar perlunya memanfaatkan ilmu untuk hal-hal yang baik, halal dan bermanfaat dengan mengutamakan rasa kebersamaan dan kekeluargaan.

Jika anda berminat dengan jasa yang kami tawarkan, silahkan hubungi kami di 085 241 263 214 , atau melalui email randysaputramahmud@rocketmail.com     insya Allah bisa kami bantu.

..::( UJIAN PENCETAK GENERASI BENGKOK )::..

Hai semua, salam hangat dari lubuk hati!!! Udah lama gak posting lagi, alnya lagi sibuk menghadapi ujian final nich, capek juga ya menghadapi yang namanya ujian.##??? Padahal kan Cuma duduk2 doang…

Berbicara tentang kata ujian, tentu kawan2 semua juga pernah merasakan yang namanya ujian, atau paling tidak pernah mendengarkan yang namanya ujian. Nah bagi yang pernah mengikuti sebuah ujian, tentu terkadang kita menyaksikan fenomena2 dalam ruang ujian kan,?!?!?

Fenomena yang saya maksud itu, tentunya kawan2 tau sendirilah apa yang saya maksud yaitu adanya usaha mendapatkan nilai tinggi dengan berbagai macam cara (menyontek, make pelampung, kerja sama, diskusi, dll) meskipun telah dijelaskan peraturannya tidak boleh  melakukan perbuatan illegal seperti yang disebutkan tadi.

Sungguh sangat disayangkan yach, banyak teman2 yang senang dengan hobi ini. Dipandang dari segi manapun, perbuatan ini tetaplah perbuatan illegal dan sangat tidak dibenarkan. Mungkin dari segi egoisme, yah apa sich yang tidak dilakukan demi mencapai kesuksesan, segala macam cara mereka lakukan demi tercapai apa yang mereka harapkan yaitu nilai bagus tanpa harus susah2. Tapi dari segi agama ini adalah suatu kemungkuran dan termasuk akhlak madzmumah (akhlak tercela), dan tentunya ini akan mendapat ganjaran dosa yang setimpal. Dari segi nasionalisme, bagi yang notabene anak sekolahan, mahasiswa,  dan sebagainya, kita ini adalah generasi muda pelanjut pembangunan bangsa yang akan melanjutkan perjuangan generasi tua kita saat ini, apa jadinya negeri ini 10 tahun kedepan 20 tahun kedepan jika generasi2 seperti inilah yang nantinya akan memimpin negeri ini? Generasi2 curang, generasi2 yang pintar-pintar mendapatkan jawaban ujian, generasi2 yang telah rusak akhlaknya sejak di bangku sekolah, generasi2 yang menghalalkan segala cara untuk mendapatkan apa yang di inginkan. Maka jangan heran jika tindak kriminal nantinya akan semakin merajalela dan amat sangat merugikan rakyat yang ternyata justru dilakukan oleh orang2 yang katanya terpelajar dengan sederetan title aneh yang hanya sekedar pajangan. Mulai dari korupsi, nepotisme, pencucian uang, sogok menyogok, dsb.

Menurut saya sebagai seorang hamba yang masih sangat dangkal ilmunya, ujian tidak hanya sekedar menguji kecerdasan peserta tapi juga menguji kejujuran peserta. Dan ujian kejujuran inilah yang seharusnya paling menentukan kelulusan peserta ujian dalam sebuah ujian. Karena dalam ujian itulah akan sangat menentukan pembentukan karakter peserta untuk memupuk sikap jujur dan tidak curang.

Akan tetapi jika dalam ujian ternyata banyak yang tidak memahami maksud dan inti dari sebuah ujian, yaitu adanya kejujuran untuk menuliskan apa yang telah mereka pelajari, mereka pahami dan mereka dapatkan selama proses pelatihan/pelajaran, ditambah lagi sikap pengawas ujian yang menunjukkan sikap cuek, lengah dan seolah memberikan ruang bagi peserta ujian untuk melakukan kecurangan, maka itu berarti antara peserta dan pengawas ujian telah bekerja sama dalam melahirkan generasi2 terdidik yang bengkok. Maka saksikanlah negeri kita nantinya akan dihancurkan oleh orang2 kita sendiri, kemerosotan moral tidak akan terelakkan lagi sehingga mengakibatkan berbagai macam bentuk kriminalitas yang dilakukan oleh orang2 terdidik.

Makanya itu dibutuhkan kesadaran dari kita2 (peserta ujian) untuk tidak melakukan hal2 yang hina seperti tadi, dan tak lupa pula bagi para pengawas ujian agar tidak memberikan celah dan kelonggaran peraturan bagi yang sedang mengikuti ujian. Ini semua tidak lain demi menciptakan generasi2 yang cerdas dan bermoral. Karena jika masih dalam tahap belajar saja sudah pandai melakukan kecurangan, maka apatah lagi jika sudah diberikan jabatan, amanah, dan kepercayaan, berbagai kecurangan, tindak penyelewengan akan semakin merajalela.

Sekian…

AKAR, PANGKAT DAN LOGARITMA

AKAR, PANGKAT DAN LOGARITMA

Hei adik2…. Masih bingung cara membaca pangkat, akar dan logaritma???

Sebelumnya, saya ingin berkisah tentang seorang teman saya yang juga duduk di bangku kuliah yang saat persentase mengenai materi akar, eh ternyata bingung dalam membaca bentuk akar. Mungkin waktu di sekolah dulu tidak terlalu ditekankan cara baca akarnya akan tetapi hanya hasilnya yang diutamakan. Nah di kuliahpun tidak pernah dibahas cara membaca notasi matematika yang benar.

So, berikut ini, saya sempatkan memposting cara membaca akar pangkat dan logaritma yang saya anggap perlu untuk kita beri sedikit perhatian. 

Dibaca             : 

• Bentuk pangkat            :  x  pangkat  a  sama dengan  m
• Bentuk akar                 :  akar pangkat  a  dari  m  sama dengan  x
• Bentuk Logaritma         :  log  m dengan bilangan pokok  x  sama dengan  a

Semoga bermanfaat!!!

SOAL I

1.      Ayu membeli 2 buku dan 3 pensil dengan harga Rp 7.000,00. Beta membeli 3 buku dan 5 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Berapa harga sebuah buku dan sebuah pensil?

Jawab :

Misalkan

Harga sebuah buku     : x rupiah

Harga sebuah pensil   : y rupiah

Berdasarkan ketentuan yang ada dalam soal, diperoleh hubungan :

2x  +  3y  =   7.000    | x3 |           6x  +  9y  =   21.000 

3x  +  5y  = 11.000    | x2 |      6x  +  10y  =   22.000  -

                                                               -y  =  -1.000

                                                                 y  =   1.000

Subtitusi  y  =  1.000 ke persamaan  2x  +  3y  =  7.000,  diperoleh

   2x + 3(1.000) = 7.000

       2x +  3.000 = 7.000 

                                                                                 2x  =  4.000

                                                                                   x  = 2.000

Jadi, karena x  =   2.000  dan   1  = 2.000  ,  maka harga  sebuah buku  Rp 2.000,00  dan harga sebuah pensil  Rp 1.000,00.

SOAL II

2.      Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 56 cm. Jika panjangnya 4 cm lebihnya dari lebarnya, carilah luas persegi panjang tersebut!

Jawab :

Misalkan panjang persegi panjang itu x cm dan lebarnya y cm. model matematika yang sesuai dengan persoalan di atas adalah :

   2x  +  2y  =  56                                x  +  y  =  28 

               x  =  y  +  4                            x  -  y  =  4

x  +  y  =  28

 x  -  y  =  4   -

      2y  =  24

        y  =  12

Masukkan nilai  y  =  12  ke persamaan  x  -  y  =  4,  diperoleh :

           x  -  12  =  4

       x  =  16

Panjang           =  x  =  16 cm

Lebar               =  y  =  12 cm

Luas                 =  p x l  =  16 x 12 = 192

Jadi, luas persegi panjang tersebut 192 cm².

Buku Seri Petualangan Misteri

Salam hangat hei sobat bookaholic!!!

            Kali ini aku mau berkisah mengenai sebuah buku yang pernah aku baca beberapa tahun lalu. Aku mengisahkannya karena sekarang aku mencari buku itu atau buku yang sejenis buku itu. Tapi sudah tidak bisa saya dapatkan lagi, jadi saya pikir lebih baik saya posting saja, sapa tau ada pula yang mengalami nasib yang sama sepertiku. Dan mau berbagi informasi mengenai buku yang saya maksud. Heheh.. kurang lebih buku itu berjudul,”Misteri Museum Lilin.”

            Buku itu berkisah tentang serombongan pelajar tingkat SMU yang melakukan study tour ke museum lilin. Perjalanan mereka yang tadinya diharapkan merupakan perjalanan yang menyenangkan, tak tahunya berubah menjadi perjalanan misteri nan tragis. Karena ternyata berikutnya mereka ketahui yang menjadi koleksi di museum itu merupakan makhluk asli yang badannya diawetkan dalam lilin. Sory nich,, mungkin kalau aku yang ceritakan pasti kurang jelas, itu karena aku sekedar mereka-reka apa yang kuingat dari yang kubaca dahulu, ditambah lagi saya kurang baik dalam mendeskripsikan kisahnya. Jadi, tentunya kisah didalam buku ini akan lebih seru kalau teman-teman sendiri yang membacanya.

            Sebenarnya bukan hanya kisahnya saja yang menarik bagiku, tapi cara membaca bukunya juga yang membuat aku selalu terkesan dengan buku itu. Jika bagi para sobat bookaholic semuanya sudah terbiasa menamatkan buku-buku yang tebal, maka belum tentu halnya dengan buku ini. Walaupun sebenarnya buku ini tidak tebal-tebal amat. Itu karena buku ini banyak menyajikan opsi dalam kisahnya, misalnya seperti ini, “anda berlari ketakutan menyusuri remang-remang museum itu, sesosok bayangan misterius yang selalu mengikuti dari belakang membuat anda terpojok di sebuah ruangan aneh. Di ruangan itu anda menemukan dua buah pintu yang anda sendiri tidak tahu akan kemana pintu itu membawa diri anda. Jika anda memilih masuk ke pintu sebelah kiri, maka silahkan lanjutkan bacaan anda di halaman 83. Tapi jika anda memilih masuk ke pintu sebelah kanan, maka silahkan lanjutkan bacaan pada halaman 13.”

Sehingga ada saja kemungkinan sobat bookaholic tidak dapat menyelesaikan membaca buku itu, karena memilih opsi yang salah sehingga kisah anda berakhir sebagai korban untuk melengkapi museum itu. Dengan banyaknya opsi yang tersebar di tiap-tiap halaman, maka seolah-olah hanya terdapat satu dari sepuluh kemungkinan untuk dapat keluar dengan selamat dari museum lilin itu. Oke, sampai disini dulu yach, semoga ada yang beruntung meiliki bukunya. cu.