METODOLOGI
PENELITIAN
(SIFAT
BILANGAN RIIL)
1.
Teorema
Teorema 1.2.10
Untuk
setiap bilangan riil
ada bilangan asli n sehingga
. (Hutahaean, 1980; 8)
2.
Uraian Teorema
·
LATAR BELAKANG :
Himpunan bilangan riil adalah himpunan semua bilangan rasional dan irrasional
yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. (Purcell, 2003; 2)
Permasalahan
selanjutnya adalah, apakah setiap kita mengambil bilangan riil
, akan ada bilangan asli yang lebih besar dari
itu sendiri? Nah pada pembahasan teorema
ini, akan dibahas mengenai salah satu sifat bilangan riil yang berhubungan
dengan permasalahan tadi.
·
HIPOTESIS :
Ada
bilangan riil x.
·
KESIMPULAN :
Ada bilangan asli n yang lebih besar dari x.
·
SIMBOL :
3.
Konsep Terkait
himpunan Bilangan Riil
Himpunan semua bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur
panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol dinamakan bilangan asli. (Purcell, 2003; 2)
·
Himpunan bilangan asli
Bilangan asli
merupakan sistem bilangan yang paling sederhana.
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Dengan bilangan
ini kita dapat menghitung jumlah buku-buku kita, teman-teman kita, dan uang
kita. (Purcell, 2003; 1)
·
Sifat kelengkapan pada bilangan Riil
Definisi :
1. Misalkan E Í Â. E disebut terbatas di atas ( bounded above ) jika
terdapat v ÎÂ sehingga x £ v untuk semua x Î E, dan v disebut batas atas ( upper bound )
untuk E.
2. E disebut terbatas dibawah ( bounded below )
jika terdapat u ÎÂ sehingga u £ x untuk semua x Î E, dan u disebut batas bawah ( lower
bound ) untuk E.
3. E disebut terbatas (bounded ) jika terbatas diatas dan
terbatas dibawah.
·
Teorema 1.2.9, dikatakan bahwa, “Sistem
bilangan asli N tak terbatas di atas.”
Bukti :
Andaikan N terbatas di
atas, jadi ada p, sehingga p = sup N.
Menurut teorema
1.2.3, ada n E N sehingga n >
p-1. Untuk n ini berlaku n+1 >
p.
Karena n+1 E N, maka n+1 > p bertentangan dengan
definisi p. Jadi terbuktilah N tak terbatas di atas. (Hutahaean, 1980; 8)
·
Teorema 1.2.3, dikatakan bahwa, “p = sup A, jika dan hanya jika :
1. p batas atas A ;
2. untuk setiap
> 0 ada x
A sehingga p –
< x
p.
Bukti :
( è )
1. Jelas berdasarkan definisi
supremum
2. Andaikan 2 tak benar, jadi ada
> 0 sehingga untuk setiap x E A berlaku
p –
≥ p. hal ini mustahil karena
> 0. Jadi pengandaian itu salah, sehingga
terbuktilah 2.
( ç ) misalkan 1 dan 2
dipenuhi dan andaikan p
sup A = c, maka p > c.
Ambillah
= (p-c)/2 , maka p -
= (p+c)/2 > c.
Untuk
ini ada x E A
sehingga c < p –
< x dan ini tak mungkin karena c = sup A . Jadi haruslah p =
sup A. (Hutahaean, 1980; 6)
4.
Bukti Teorema
Andaikan tidak
demikian, maka ada bilangan riil x, sehingga untuk setiap bilangan asli n
berlaku n ≤ x. Ini berarti sistem
bilangan asli N terbatas di atas dan ini bertentangan dengan teorema
1.2.9. Dengan demikian pengandaian itu
salah dan ini berarti Teorema 1.2.10 benar
5.
Konstruksi Bukti Teorema
1. Ambil bilangan riil x sebarang.
2. Misalkan pernyataan ini “untuk setiap bilangan riil x ada bilangan asli
n sehingga n > x .” tidak benar. Sehingga diperoleh n ≤ x. Dengan n
N dan x
Â.
3. Maka x
merupakan batas atas n. Yang
berarti bahwa N terbatas di atas oleh x.
4. Pada teorema sebelumnya
yakni teorema 1.2.9, dikatakan bahwa “Sistem
bilangan asli N tak terbatas di atas.”
5. Dan ternyata hasil dari pemisalan
kita bertentangan dengan teorema 1.2.9.
6. Akibat penggunaan teorema
1.2.9 ini, maka diperoleh kesimpulan bahwa pemisalan kita di awal pembuktian
tadi salah. sehingga pernyataan n > x ini bernilai benar
